Doctorado en Matemática - Tesis
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Ítem Acceso Abierto Estudio de soluciones a problemas de tipo Stefan asociados a procesos de difusión anómala y aleaciones binarias(2023-12-14) Venturato, Lucas; Roscani, Sabrina; Tarzia, DomingoEn esta tesis se estudian dos clases de problemas de Stefan. En la primera parte se aborda un problema asociado a aleaciones binarias, obteniendo soluciones explícitas de tipo similaridad, para dos condiciones de borde, de Neumann y convectiva. Se obtienen además desigualdades para el coeficiente que caracteriza la frontera libre en cada caso. En la segunda parte se estudia un problema de Stefan fraccionario en la variable espacial de tipo Dirichlet, asociado a un flujo de Caputo. Este tipo de problemas, está relacionado con procesos de difusión anómala en materiales heterogéneos, y a diferencia del problema presentado en la primera parte, no existe en la literatura resultados previos de existencia, unicidad o regularidad de soluciones así como tampoco las herramientas necesarias para su deducción. Los mismos serán obtenidos en esta segunda parte.Ítem Acceso Abierto Estudio de diversos problemas con ecuaciones diferenciales fraccionarias de tipo parabólico(2022-03) Goos, Demian Nahuel; Reyero, Gabriela Fernanda; Santillan Marcus, EduardoEn esta tesis se estudian diversos problemas asociados a dos ecuaciones diferenciales parciales fraccionarias, a saber la Ecuación de Difusión Fraccionaria y la Ecuación de Schrödinger Fraccionaria, donde se considera la derivada fraccionaria de Caputo de orden α ∈ (0, 2). En la primera parte se estudia un problema de Cauchy unidimensional para la Ecuación de Difusión Fraccionaria sobre R. Se obtiene la solución al problema que coincide con la solución obtenida por otros autores previamente, se prueba por primera vez de manera rigurosa que la función obtenida es, efectivamente, solución al problema planteado y luego se deducen una serie de propiedades para la solución obtenida. Entre ellas, se destacan la obtención de cotas para las normas Lp(R) y la prueba de la continuidad de la solución obtenida con respecto al orden de derivación α. En la segunda parte se utilizan las nuevas herramientas obtenidas en la parte precedente para generalizar estos resultados a un problema de Cauchy multidimensional de la Ecuación de Difusión Fraccionaria sobre R y a uno en el cual se generaliza el orden de derivación a α > 0. Además, se generalizan los requerimientos para la condición inicial del problema unidimensional, nuevamente se prueba la continuidad de la solución obtenida con respecto al orden de derivación α y se observan propiedades de la solución obtenida en el marco de los procesos estocásticos. La tercera parte analiza un problema de Cauchy unidimensional de la Ecuación de Difusión Fraccionaria sobre R+ con condición de contorno, donde el foco se centra en probar rigurosamente que la función considerada efectivamente verifica la ecuación diferencial. La cuarta parte presenta un argumento heurístico para derivar una Ecuación de Schrödinger Fraccionaria dependiente del tiempo, para luego ponerla a prueba en tres problemas físicos básicos: la partícula libre, el problema de pozo infinito y el problema del pozo finito. A partir de las observaciones realizadas en la parte anterior, la quinta parte realiza una serie de observaciones relacionadas a las limitaciones de la derivada fraccionaria de Caputo. Resulta inmediato que una de las mayores falencias que posee este operador tanto a nivel teórico como práctico reside en el hecho que el mismo no verifica una fórmula de integración por partes práctica.Ítem Acceso Abierto Sobre variaciones del problema de k-dominación en algunas subclases de grafos arco-circulares(2020-03) Lopez Pujato, María Inés; Leoni, Valeria; Dobson, Patricia M.Los resultados de esta tesis se enmarcan dentro del área de la Optimización Combinatoria. Principalmente, se conjugan técnicas asociadas a las áreas de Complejidad Computacional, Algoritmos y Teoría de Grafos, entre otras. Se exponen los resultados obtenidos luego del estudio de la complejidad computacional para cada número entero positivo k fijo, de las siguientes variantes del problema clásico de dominación en grafos en algunas subclases de los grafos arco-circulares: k-upla dominación, k-dominación y k-dominación total. Para k = 1, todas ellas coinciden con el concepto usual de dominación, 1-dominación o dominación total en grafos. Desde el punto de vista de la complejidad computacional de problemas de decisión, estas variantes de la dominación clásica son "difíciles” de resolver. Como es habitual, se planteó entonces estudiar subclases donde los problemas sean tratables, es decir, resolubles a través de un algoritmo eficiente (de tiempo de ejecución u orden polinomial en el tamano de las instancias). Se investigaron instancias dadas por clases de grafos para los cuales existen en la literatura algoritmos que resuelven el problema para k = 1 en tiempo polinomial y que su tratamiento estaba abierto para los restantes valores de k enteros o bien, que disponen de un tal algoritmo pero el mismo es poco eficiente en algún sentido. Si bien los problemas abordados generalizan los diferentes conceptos de dominación, los algortimos que presentamos en esta tesis no son una generalización de los existentes en la literatura para el problema de dominación usual. Aún notando que la diferencia en las definiciones de los problemas estudiados es muy sutil, la estructura intrínseca de cada clase de grafos abordada mostró que en general no es sencillo, o bien no es posible, aplicar el mismo tratamiento a las tres variantes del problema estudiado en esas clases. Más precisamente, en esta tesis se desarrollan: para la k-dominación y k-dominación total y sus versiones ponderadas, un algoritmo específico de orden polinomial en función de k para la clase de los grafos de intervalos propios; para la k-upla dominación, sendos algoritmos eficientes para dos subclases de grafos arco-circulares, la de los grafos co-biconvexos y la de los grafos web, instancias para las que no se contaba hasta el momento con un algoritmo de resolución.Ítem Acceso Abierto Variaciones del Problema de Dominación y Separación en grafos(2020-03) Lucarini, Yanina P.; Bianchi, Silvia M.; Argiroffo, Gabriela R.En esta tesis nos enfocamos en el estudio de cuatro variaciones del Problema de Dominación y Separación en grafos: los problemas de código de identificación, localización y dominación total en grafos. Estos problemas han sido desarrollados y estudiados activamente durante las ´ultimas décadas. Entre los desafíos relacionados con ellos nos proponemos determinar y/o aproximar el cardinal del mínimo código de identificación, conjunto de localización-dominación, conjunto de localización-dominación abierta o conjunto de localización-dominación total para diferentes clases de grafos. Es sabido que responder estas preguntas es de interés tanto teórico como práctico. La relevancia de estos problemas se debe a que modelan situaciones reales provenientes de variadas disciplinas, como por ejemplo el análisis de dispersión de enfermedades, detección de fallas en redes de comunicación y ubicación de alarmas de incendio o detectores de movimiento en establecimientos, edificios, viviendas, instalaciones,etc. Esta importancia práctica hace necesario el desarrollo de algoritmos exactos capaces de resolver instancias provenientes de aplicaciones del mundo real en tiempos computacionales razonables. Una manera a menudo exitosa de resolver esta clase de problemas, es a través de modelos de programación lineal entera sobre los cuales se realiza un estudio poliedral del espacio de soluciones. También aplicamos este abordaje para encontrar valores exactos del mínimo conjunto en cuestión, o estimaciones de estos parámetros para varias clases de grafos. Por otra parte, utilizamos la teoría de grafos para la obtención de los parámetros mencionados en ciertas familias de grafos. Finalmente, presentamos algoritmos que en tiempo lineal, resuelven los problemas de determinar la cardinalidad del mínimo código de identificación, conjunto de localización-dominación, conjunto de localización-dominación abierta y conjunto de localización-dominación total en los llamados grafos block.Ítem Acceso Abierto Estabilidad numérica de un método local integral basado en funciones de base radial para problemas de valores de contorno(2021) Ponzellini Marinelli, Luciano; Portapila, MargaritaEl Método de Elementos de Contorno (MEC) es una t´ecnica num´erica reconocida en la matemática aplicada y las ingenierías desde hace más de 50 años. La base de este método es transformar una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) que describa un problema físico en una ecuación integral equivalente haciendo uso de las identidades de Green y teoremas de representación. La teoría de Funciones en Base Radial (FBR) tuvo un desarrollo considerable en los últimos años debido a su alto orden de exactitud, flexibilidad para geometrías no triviales, eficiencia computacional y facilidad de implementación. Sin embargo, la experimentación numérica mostró que cuando ε → 0 el error de interpolación decrece hasta cierto valor a partir del cual se desestabiliza debido al mal condicionamiento de la matriz de interpolación. El objetivo principal de nuestro trabajo consiste en estabilizar el error de un método local integral para resolver EDP a partir de lograr estabilizar el error en las interpolaciones locales cuando el parámetro de forma tiende a cero y evitar el mal condicionamiento de los sistemas locales.Ítem Acceso Abierto Teoremas de convergencia para modelos exponenciales con dispersión bivariados(Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura ., 2019) Boggio, Gloria; Ricci, Lila; Martinez, Jose RaúlLa propuesta de este trabajo es, de este modo, comprobar la convergencia de tipo variación regular de modelos exponenciales con dispersión bivariados bajo ciertas condiciones, a un modelo Tweedie bivariado y más aún a un modelo gamma, como extensión del teorema desarrollado por Jørgensen, Martínez y Tsao para el caso univariado.