Aproximación numérica de problemas de reacción–difusión. Mallas graduadas, normas balanceadas y aplicaciones

En esta tesis exploramos la implementación del método de elementos finitos para la resolución de problemas de reacción–difusión singularmente perturbados, con especial énfasis en la obtención de estimaciones de error en normas balanceadas mediante el uso de mallas graduadas. Analizamos diversos escenarios, incluyendo problemas bidimensionales, sistemas acoplados de ecuaciones y aplicaciones a problemas fraccionarios. Comenzamos estudiando problemas de reacción–difusión singularmente perturbados en dos dimensiones, donde empleamos el método de elementos finitos sobre mallas graduadas para obtener aproximaciones robustas. Mostramos que una elección adecuada del parámetro de graduación permite obtener estimaciones de error cuasi–óptimas en una norma balanceada para elementos bilineales a trozos, siguiendo la formulación variacional con peso. Asimismo, demostramos un resultado de supercloseness, estableciendo que la diferencia entre la solución numérica y la interpolación de Lagrange de la solución exacta, en esa misma norma, es de orden superior al error mismo. A continuación, abordamos sistemas acoplados de ecuaciones unidimensionales de reacción–difusión singularmente perturbadas, utilizando elementos finitos lineales a trozos en mallas graduadas. Consideramos dos casos: ecuaciones con coeficientes variables y el mismo parámetro de perturbación singular para todas las ecuaciones y, por otro lado, ecuaciones con coeficientes constantes y con diferentes parámetros de perturbación singular. En ambos casos las soluciones pueden presentar capas límite en los extremos del dominio. Además, en el segundo caso, si los parámetros de perturbación singular tienen órdenes de magnitud distintos, pueden formarse capas exponenciales de diferentes anchos y/o superpuestas. Probamos que, en ambos casos, es posible elegir adecuadamente el parámetro de graduación, de manera de aproximar correctamente las capas límite y obtener estimaciones óptimas del error en una norma balanceada. Finalmente, analizamos la discretización de problemas fraccionarios con condición de Dirichlet homogénea para potencias fraccionarias de operadores elípticos simétricos de segundo orden en un dominio bidimensional. Si bien se trata de un problema no local, el mismo puede ser localizado a través de una ecuación elíptica no uniforme en un dominio con una dimensión espacial adicional. Esta estrategia fue introducida y posteriormente extendida por otros autores. En nuestro enfoque, empleamos la técnica de diagonalización, la cual desacopla el problema en un sistema de ecuaciones independientes de reacción–difusión, muchas de ellas singularmente perturbadas. Estas ecuaciones pueden aproximarse en paralelo mediante elementos finitos bilineales sobre una misma malla convenientemente graduada. Demostramos la convergencia del esquema propuesto. En cada uno de estos casos, presentamos ejemplos numéricos que validan eficazmente los métodos y resultados teóricos obtenidos.