Estudio de diversos problemas con ecuaciones diferenciales fraccionarias de tipo parabólico

En esta tesis se estudian diversos problemas asociados a dos ecuaciones diferenciales parciales fraccionarias, a saber la Ecuación de Difusión Fraccionaria y la Ecuación de Schrödinger Fraccionaria, donde se considera la derivada fraccionaria de Caputo de orden α ∈ (0, 2). En la primera parte se estudia un problema de Cauchy unidimensional para la Ecuación de Difusión Fraccionaria sobre R. Se obtiene la solución al problema que coincide con la solución obtenida por otros autores previamente, se prueba por primera vez de manera rigurosa que la función obtenida es, efectivamente, solución al problema planteado y luego se deducen una serie de propiedades para la solución obtenida. Entre ellas, se destacan la obtención de cotas para las normas Lp(R) y la prueba de la continuidad de la solución obtenida con respecto al orden de derivación α. En la segunda parte se utilizan las nuevas herramientas obtenidas en la parte precedente para generalizar estos resultados a un problema de Cauchy multidimensional de la Ecuación de Difusión Fraccionaria sobre R y a uno en el cual se generaliza el orden de derivación a α > 0. Además, se generalizan los requerimientos para la condición inicial del problema unidimensional, nuevamente se prueba la continuidad de la solución obtenida con respecto al orden de derivación α y se observan propiedades de la solución obtenida en el marco de los procesos estocásticos. La tercera parte analiza un problema de Cauchy unidimensional de la Ecuación de Difusión Fraccionaria sobre R+ con condición de contorno, donde el foco se centra en probar rigurosamente que la función considerada efectivamente verifica la ecuación diferencial. La cuarta parte presenta un argumento heurístico para derivar una Ecuación de Schrödinger Fraccionaria dependiente del tiempo, para luego ponerla a prueba en tres problemas físicos básicos: la partícula libre, el problema de pozo infinito y el problema del pozo finito. A partir de las observaciones realizadas en la parte anterior, la quinta parte realiza una serie de observaciones relacionadas a las limitaciones de la derivada fraccionaria de Caputo. Resulta inmediato que una de las mayores falencias que posee este operador tanto a nivel teórico como práctico reside en el hecho que el mismo no verifica una fórmula de integración por partes práctica.