Integración numérica por cuantificación de estados: generalización de algoritmos y herramientas de análisis con aplicaciones

En esta tesis, presentamos nuevas herramientas teóricas para estimar costos computacionales derivados de la simulación de diferentes modelos a través de métodos de integración numérica. Esto incluye la introducción el concepto de homogeneidad de la actividad en las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs), el cual caracterizamos mediante una métrica denominada Factor de Homogeneidad. Mostramos que dicha métrica puede relacionarse con la conveniencia de utilizar esquemas clásicos de integración numérica o métodos basados en cuantificación de estados, tales como los algoritmos Quantized State System (QSS). Las nociones desarrolladas, que también se extienden a sistemas que presentan discontinuidades, proporcionan un fundamento teórico que corrobora lo que intuitivamente se observa en la práctica: que los métodos QSS ofrecen ventajas cuando la actividad es heterogénea, los sistemas son dispersos y/o se producen discontinuidades frecuentes. También proponemos una metodología para desarrollar nuevos algoritmos de integración numérica para ecuaciones diferenciales ordinarias basados en la cuantificación de estados, generalizando las nociones de los métodos Linearly Implicit Quantized State Systems (LIQSS). A partir de esta formulación, diseñamos dos nuevas subfamilias de algoritmos que mejoran el desempeño de los métodos LIQSS actuales, preservando al mismo tiempo sus propiedades de estabilidad, su cota de error global y su capacidad de manejo eficiente de eventos. Finalmente, aplicamos los conceptos y algoritmos desarrollados a tres casos de estudio: un modelo de advección-difusión-reacción, una red neuronal y un modelo epidemiológico. Comparamos las predicciones teóricas con resultados empíricos obtenidos mediante simulaciones que emplean distintos métodos de integración numérica (clásicos, QSS originales y nuevos), confirmando que la métrica propuesta identifica de manera consistente la estrategia de integración que resulta más eficiente en la práctica. En estos resultados también resultó evidente la ventaja obtenida de los nuevos algoritmos propuestos con respecto tanto a los métodos originales de QSS, como a los métodos clásicos de integración numérica.