Cálculo diferencial e integral: Tomo I, 5a ed.

Prólogo: La docencia en la universidad pública durante más de 40 años, el estudio a lo largo de todos estos años de la problemática del alumno que ingresa, me ha permitido conocer las necesidades tanto de aquellos que llegan temerosos y con pocos conocimientos de matemática como de aquellos otros que lo hacen con una sólida educación y sumamente motivados. Este libro ha sido escrito tratando de contemplar las dificultades con que tradicionalmente tropiezan ambos grupos, aunque estas sean de distinta índole y naturaleza. El criterio adoptado para la selección, organización y desarrollo de los contenidos es original y está sustentado tanto en los distintos proyectos de investigación en Educación Matemática que hace años venimos desarrollando con el grupo de investigadores que hoy me acompaña como, y particularmente, en un comprometido ejercicio de la docencia. Esto último permitió la “bajada al aula” de los materiales didácticos producto o resultado de la investigación, la corroboración de su efectividad o, en su defecto, su corrección hasta lograrlo. Así, este libro es la recopilación, revisada y corregida una y otra vez, de los apuntes de cátedra y guía de trabajos prácticos oportunamente elaborados para el dictado de las asignaturas a cargo. El libro es esencialmente un libro de Cálculo para funciones de una variable; en particular Cálculo Diferencial (Capítulos 3 y 4) y Cálculo Integral (Capítulos 9 y 10). En los primeros capítulos (1 y 2) se desarrollan los dos conceptos fundamentales del Cálculo: función y límite. El problema de hallar la función (f ) que describe un proceso conociendo la velocidad (f ´ ) ó la aceleración (f ´´ ) a la que se desarrolla el mismo, es un problema frecuente tanto en investigación como en el ejercicio de la profesión. Más general aún, lo que se conoce o puede llegar a conocer es la relación entre f y una o más de sus derivadas. Es decir, lo que se conoce o puede conocer es la Ecuación Diferencial que modeliza el proceso en estudio. Dada entonces la importancia de estas ecuaciones en la modelización de procesos o fenómenos de distintas naturaleza, estimamos conveniente incluir un último capítulo, el de Ecuaciones Diferenciales (Capítulo 11). Este permite trabajar ampliamente todos los conceptos desarrollados previamente, mostrar la utilidad de los mismos en la resolución de problemas y, particularmente, mostrar que la herramienta a usar (derivada o integral) depende de la naturaleza del problema (de allí entonces la importancia de poder detectar el “tipo” de problema a resolver, cuestión en la que se pone especial énfasis a lo largo de los distintos capítulos). Se ha tratado de exponer las ideas y técnicas matemáticas de la manera más clara posible, de relacionarlas con otras áreas del conocimiento. Se han obviado muchas demostraciones a los fines de brindar mayor espacio y atención a la génesis, explicación y empleo de los diversos conceptos que se presentan, de ilustrar el papel que juegan en la matemática el escribir, verbalizar, investigar, conjeturar, en definitiva, el pensar críticamente. Se abunda en ejemplos, los cuales tienen por intención preparar para la comprensión de un concepto, brindar modelos para la resolución de problemas y, casi primordialmente, animar a los estudiantes a participar activamente de su propio aprendizaje. Convencida de la importancia de la ejercitación en el aprendizaje de cualquier parte de la matemática he incluido también una variada y abundante propuesta de ejercicios al final de cada capítulo. Estos ejercicios cubren diferentes aspectos y grados de dificultad. Entre los distintos aspectos: ejecución directa de operaciones, teórico-prácticos, teóricos y de aplicación. Este libro surge ante la necesidad de brindar un material que cubra los requerimientos básicos del Cálculo para nuestros estudiantes, aquí y ahora. Para su elaboración he adoptado un enfoque que podríamos señalar como a medio camino entre el tradicional y el reformista. Tradicional, en cuanto reconoce la importancia de la teoría, los enunciados precisos, las demostraciones rigurosas y el desarrollo de destrezas en el manejo de herramientas básicas de la Matemática. Reformista en cuanto a que el énfasis está puesto en los conceptos y las aplicaciones más que en las técnicas formales. Finalmente el objetivo último es el de presentar un texto de matemática genuina, el cual permita comprender la diferencia que hay entre familiaridad y entendimiento, entre demostración lógica y manipulación rutinaria, entre actitud mental crítica y la crédula habitual, entre el conocimiento científico y la simple opinión o conjetura; en el que se perciba el peso, importancia e incidencia del conocimiento vulgar en la génesis y desarrollo del conocimiento. Contemplar este objetivo no ha sido simple, sin dudas es más fácil (y posible) omitir cualquier referencia a estas cuestiones que hacer un tratamiento explícito de las mismas, pero de todas manera he aceptado el desafío en el convencimiento de que este es el camino por el que debemos transitar en la búsqueda de una mejor calidad de la enseñanza.